3. Συστήματα Αρίθμησης

Επειδή ο υπολογιστής και κάποια προγράμματα δεν χρησιμοποιούν το δεκαδικό σύστημα ως σύστημα αρίθμησης αλλά το δυαδικό, το δεκαεξαδικό και μερικές φορές το οκταδικό, θα πρέπει να γνωρίζουμε πως να μετατρέπουμε έναν αριθμό από το δεκαδικό σύστημα αρίθμησης στα άλλα συστήματα αρίθμησης και το αντίστροφο.

Τα ψηφία που χρησιμοποιούν τα διάφορα συστήματα αρίθμησης αναφέρονται στον παρακάτω πίνακα :

Δεκαδικό     Δυαδικό     Δεκαεξαδικό     Οκταδικό
0            0           0               0
1            1           1               1
2            10          2               2
3            11          3               3
4            100         4               4
5            101         5               5
6            110         6               6
7            111         7               7
8            1000        8               10
9            1001        9               11
10           1010        Α               12
11           1011        Β               13
12           1100        C               14
13           1101        D               15
14           1110        E               16
15           1111        F               17
16           10000       10              20

α) Μετατροπή από δεκαδικό σε άλλα συστήματα αρίθμησης.

Για να μετατρέψουμε έναν αριθμό από δεκαδικό σε οποιοδήποτε άλλο σύστημα ,ακολουθούμε την εξής διαδικασία. Το ακέραιο μέρος ενός αριθμού το διαιρούμε με τον αριθμό του συστήματος που θέλουμε να τον μετατρέψουμε. Για παράδειγμα θέλουμε να μετατρέψουμε έναν αριθμό από το δεκαδικό σε δυαδικό, τότε θα διαιρέσουμε τον αριθμό αυτόν με το δύο. Καθώς διαιρούμε τον αριθμό με το δύο κάθε φορά ,το υπόλοιπο της κάθε διαίρεσης θα είναι το δεξιότερο ψηφίο του αριθμού (στο δυαδικό σύστημα) και το νέο πηλίκο που παίρνουμε κάθε φορά θα το διαιρούμε με το δύο και θα παίρνουμε καινούργιο υπόλοιπο ώσπου να μηδενιστεί το πηλίκο. Ενώ το κλασματικό μέρος ενός αριθμού το πολλαπλασιάζουμε με δύο.

Το ακέραιο μέρος του αριθμού που προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό του κλασματικού μέρους με το δύο θα αποτελέσει το αριστερότερο ψηφίο του νέου κλασματικού αριθμού στο δυαδικό σύστημα, μετά την υποδιαστολή. Έπειτα παίρνουμε το αποτέλεσμα που προέκυψε από τον πολλαπλασιασμό του δύο με το κλασματικό μέρος του αριθμού και αφαιρούμε το ακέραιο μέρος που χρησιμοποιήσαμε για τον σχηματισμό του κλασματικού μέρους στο δυαδικό σύστημα από τον νέο κλασματικό αριθμό. Αυτόν τον νέο αριθμό τον πολλαπλασιάζουμε πάλι με το δύο και εκτελούμε την προηγούμενη διαδικασία ,μέχρι ο νέος κλασματικός αριθμός να γίνει μηδέν. Άμα ο νέος κλασματικός αριθμός είναι περιοδικός τότε κάνουμε αποκοπή και στρογγυλοποίηση. Επειδή μπορεί να σας μπέρδεψα λίγο θα σας παραθέσω κάποια παραδείγματα μετατροπών.

Μετατροπή από δεκαδικό σε δυαδικό Χ(10) -> Χ(2)

Ακέραιος
45(10) -> Χ(2)

Πράξη Πηλίκο Υπόλοιπο Δυαδικός Αριθμός(Χ)
45/2 22 1 1
22/2 11 0 01
11/2 5 1 101
5/2 2 1 1101
2/2 1 0 01101
1/2 0 1 101101



Κλασματικό μέρος
0,182(10) -> Χ(2)


Γινόμενο Ακέραιος Δυαδικός Αριθμός (Χ)

0,182 * 2 0,364 0 0,0

0,364 * 2 0,728 0 0,00

0,728 * 2 1,456 1 0,001

0,456 * 2 0,912 0 0,0010

0,912 * 2 1,824 1 0,00101

0,824 * 2 1,648 1 0,001011

0,648 * 2 1,296 1 0,0010111


0,182(10) -> 0,0010111(2)
(Μετά από στρογγυλοποίηση και αποκοπή)

Μετατροπή από δεκαδικό σε οκταδικό Χ(10) -> Χ(8)

45(10) -> X(8)


Πράξη   Πηλίκο   Υπόλοιπο     Οκταδικός Αριθμός (Χ)


45 / 8      5        5               5

5 / 8       0        5               55


45(10) -> 55(8)



Κλασματικό μέρος
0,182(10) -> Χ(8)


Πράξη       Γινόμενο        Ακέραιος     Οκταδικός Αριθμός (Χ)


0,182 * 8          1,456             1                0,1

0,456 * 8          3,648             3                0,13

0,648 * 8          5,184            5                 0,135

0,184 * 8          1,472            1                 0,1351

0,472 * 8          3,776            3                 0,13513

0,776 * 8          6,208            6                 0,135136

0,182(10) -> 0,135136(8)
(Μετά από στρογγυλοποίηση και αποκοπή)




Μετατροπή από δεκαδικό σε δεκαεξαδικό Χ(10) -> Χ(16)
45(10) -> X(16)


Πράξη     Πηλίκο     Υπόλοιπο       Δεκαεξαδικός  Αριθμός (Χ)


45 / 16        2             13                           D

Επειδή το 13 στο δεκαεξαδικό σύστημα είναι το D (Δες τον πίνακα) 
2 / 16         0              2                          2D


45(10) -> 2D(16)

Κλασματικό μέρος
0,182(10) -> Χ(16)

Πράξη        Γινόμενο     Ακέραιος     Δεκαεξαδικός Αριθμός (Χ)

0,182 * 16       2,912            2              0,2

0,912 * 16      14,592           14            0,2Ε

0,592 * 16       9,472            9              0,2Ε9

0,472 * 16       7,552            7              0,2Ε97

0,552 * 16       8,832            8              0,2Ε978

0,832 * 16      13,312           13            0,2Ε978D


0,182(10) -> 0,2E978D(16)
(Μετά από στρογγυλοποίηση και αποκοπή)